左右導(dǎo)數(shù)

“左右導(dǎo)數(shù)相等”不等于“導(dǎo)函數(shù)的左右極限相等”，這不是兩個(gè)很容易混淆的說法。
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)差商的極限。“左右導(dǎo)數(shù)”指的是“差商的左右極限”，是在一點(diǎn)上定義的，并沒有要求函數(shù)在其他點(diǎn)可導(dǎo)。也就是我不關(guān)心其他點(diǎn)的可導(dǎo)性。
但導(dǎo)函數(shù)的左右極限意味著導(dǎo)函數(shù)已經(jīng)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)存在，即函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都可導(dǎo)才行。

舉個(gè)例子給你：f(x)=(x^2)*sin(1/x) (x不等于0)；f(x)=0 這個(gè)分段定義的函數(shù)，它在 0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是 0（用定義證），即左右導(dǎo)數(shù)是 0。但它的導(dǎo)函數(shù)在 0 點(diǎn)不連續(xù)，左右極限也不存在。
原則上說，用左右導(dǎo)數(shù)來證明導(dǎo)數(shù)存在的確需要用定義（即差商的左右極限）。
但為什么可以用求導(dǎo)法則來求左右導(dǎo)數(shù)呢？這是因?yàn)椤皩?dǎo)數(shù)如果存在，它等于左導(dǎo)數(shù)，也等于右導(dǎo)數(shù)”。這里并沒有任何導(dǎo)函數(shù)的概念在里面。例如，如果我希望求 x^2 在 1 的左導(dǎo)數(shù)，我可以先用求導(dǎo)法則（求導(dǎo)法則就是差商極限得來的）求得 x^2 在 1 導(dǎo)數(shù)是 2，于是就知道左導(dǎo)數(shù)是 2。
同理，ax+b 在 1 的右導(dǎo)數(shù)等于在 1 的導(dǎo)數(shù) a。所以，就知道 a=1 了。
我希望這樣解答了你的疑問，我并沒有提導(dǎo)函數(shù)的事情，雖然“看起來”很像先求導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)函數(shù)的左右極限，這只不過對(duì)于這個(gè)很光滑的函數(shù)，左右導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的左右極限正好相等罷了。


最后，我想說，左右導(dǎo)數(shù)一般是用來證明“導(dǎo)數(shù)不存在”的，即如果我要證明函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)，只要證明在該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)就是。例如，在證明 |x| 在 0 不可導(dǎo)就是這么證的。我個(gè)人覺得左右導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念沒有必要，用差商的左右極限替代可能會(huì)更清楚一點(diǎn)。