正定性的判斷方法

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愛揚教育

2022-03-01

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正定性的判斷方法：
求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負(fù)數(shù)，則A為負(fù)定的；
計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階為正，則A為負(fù)定的。

擴展資料

　　正定矩陣在相合變換下可化為規(guī)范型，即單位矩陣。所有特征值大于零的對稱矩陣（或厄米特矩陣）是正定矩陣，其等價條件是：

　　1、AA是半正定的；

　　2、AA的所有主子式均為非負(fù)的；

　　3、AA的特征值均為非負(fù)的；

　　4、存在n階實矩陣C，使A=C'CC，使A=C′C；

　　5、存在秩為r的r×n實矩陣BB，使A=B'BA=B′B。

　　正定矩陣有以下性質(zhì)：

　　1、正定矩陣的行列式恒為正；

　　2、實對稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)A與單位矩陣合同；

　　3、若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；

　　4、兩個正定矩陣的和是正定矩陣；

　　5、正實數(shù)與正定矩陣的乘積是正定矩陣。