關(guān)于高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)匯總

關(guān)于高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)匯總

高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)匯總：

第一部分集合

(1)含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2^n,真子集數(shù)為2^n-1;非空真子集的數(shù)為2^n-2;

(2)注意：討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。

(3)

第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.映射：注意①第一個(gè)集合中的元素必須有象;②一對(duì)一，或多對(duì)一。

2.函數(shù)值域的求法：①分析法;②配方法;③判別式法;④利用函數(shù)單調(diào)性;

⑤換元法;⑥利用均值不等式;⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、絕對(duì)值的意義等);⑧利用函數(shù)有界性(、、等);⑨導(dǎo)數(shù)法

3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

①若f(x)的定義域?yàn)椤瞐，b〕,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域。

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù);

②分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來(lái)判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。

4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題，先分段解決，再下結(jié)論。

5.函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;

⑵是奇函數(shù);

⑶是偶函數(shù);

⑷奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則;

⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;

(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性;

6.函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)性的定義：

①在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)有;

②在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)有;

⑵單調(diào)性的判定

1定義法：

注意：一般要將式子化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào);

②導(dǎo)數(shù)法(見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分);

③復(fù)合函數(shù)法(見(jiàn)2(2));

④圖像法。

注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

7.函數(shù)的周期性

(1)周期性的定義：

對(duì)定義域內(nèi)的任意，若有(其中為非零常數(shù))，則稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。

所有正周期中最小的稱(chēng)為函數(shù)的最小正周期。如沒(méi)有特別說(shuō)明，遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函數(shù)的周期

①;②;③;

④;⑤;

⑶函數(shù)周期的判定

①定義法(試值)②圖像法③公式法(利用(2)中結(jié)論)

⑷與周期有關(guān)的結(jié)論

①或的周期為;

②的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)周期為2;

③的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)周期為2;

④的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，直線軸對(duì)稱(chēng)周期為4;

8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

⑴冪函數(shù)：(;⑵指數(shù)函數(shù)：;

⑶對(duì)數(shù)函數(shù):;⑷正弦函數(shù):;

⑸余弦函數(shù)：;(6)正切函數(shù)：;⑺一元二次函數(shù)：;

⑻其它常用函數(shù)：

1正比例函數(shù)：;②反比例函數(shù)：;特別的

2函數(shù);

9.二次函數(shù)：

⑴解析式：

①一般式：;②頂點(diǎn)式：，為頂點(diǎn);

③零點(diǎn)式：。

⑵二次函數(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：

①開(kāi)口方向;②對(duì)稱(chēng)軸;③端點(diǎn)值;④與坐標(biāo)軸交點(diǎn);⑤判別式;⑥兩根符號(hào)。

⑶二次函數(shù)問(wèn)題解決方法：①數(shù)形結(jié)合;②分類(lèi)討論。

10.函數(shù)圖象：

⑴圖象作法：①描點(diǎn)法(特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

⑵圖象變換：

1平移變換：ⅰ，2———“正左負(fù)右”

ⅱ———“正上負(fù)下”;

3伸縮變換：

ⅰ，(———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍;

ⅱ，(———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍;

4對(duì)稱(chēng)變換：ⅰ;ⅱ;

ⅲ;ⅳ;

5翻轉(zhuǎn)變換：

ⅰ———右不動(dòng)，右向左翻(在左側(cè)圖象去掉);

ⅱ———上不動(dòng)，下向上翻(||在下面無(wú)圖象);

11.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱(chēng)性的證明

(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;

(2)證明函數(shù)與圖象的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在的圖象上，反之亦然;

注：

①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱(chēng)曲線C2方程為：f(2a-x,y)=0;

③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對(duì)稱(chēng)曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng);

特別地：f(a+x)=f(a-x)(x∈R)y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng);

⑤函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng);

12.函數(shù)零點(diǎn)的求法：

⑴直接法(求的根);⑵圖象法;⑶二分法.

13.導(dǎo)數(shù)

⑴導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作;

⑵常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①;②;③;

④;⑤;⑥;⑦;

⑧。

⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

⑷(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過(guò)”該點(diǎn)的切線?

②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：

ⅰ是增函數(shù);ⅱ為減函數(shù);

ⅲ為常數(shù);

③利用導(dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù);ⅱ求方程的根;ⅲ列表得極值。

④利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：ⅰ求的極值;ⅱ求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有);ⅲ得最值。

14.(理科)定積分

⑴定積分的定義：

⑵定積分的性質(zhì)：①(常數(shù));

②;

③(其中。

⑶微積分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式)：

⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：;

3求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：;③求變力做功：。

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

⑵弧長(zhǎng)公式：;扇形面積公式：。

2.三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：

3.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦;

4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不(改)變，符號(hào)看象限”;

5.⑴對(duì)稱(chēng)軸：;對(duì)稱(chēng)中心：;

⑵對(duì)稱(chēng)軸：;對(duì)稱(chēng)中心：;

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：;

7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①

②③。

8.二倍角公式：①;

②;③。

9.正、余弦定理：

⑴正弦定理：(是外接圓直徑)

注：①;②;③。

⑵余弦定理：等三個(gè);注：等三個(gè)。

10。幾個(gè)公式:

⑴三角形面積公式：;

⑵內(nèi)切圓半徑r=;外接圓直徑2R=

11.已知時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：

第四部分立體幾何

1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。

2.表(側(cè))面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積：S側(cè)=;③體積：V=S底h

⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積：S側(cè)=;③體積：V=S底h：

⑶臺(tái)體：①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底;②側(cè)面積：S側(cè)=;③體積：V=(S+)h;

⑷球體：①表面積：S=;②體積：V=。

3.位置關(guān)系的證明(主要方法)：

⑴直線與直線平行：①公理4;②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理。

⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。

⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。

⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理。

⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。

注：理科還可用向量法。

4.求角：(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)

⑴異面直線所成角的求法：

1平移法：平移直線，2構(gòu)造三角形;

3②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，4發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。

注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。

⑵直線與平面所成的角：

①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長(zhǎng)度作比，得sin。

注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。

⑶二面角的求法：

①定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，作出平面角，再求解;

②三垂線法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作(或找)到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;

③射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大小;

注：對(duì)于沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法;

理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)班平面法向量的夾角。

5.求距離：(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)

⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進(jìn)行計(jì)算;

⑵點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解;

⑶點(diǎn)到平面的距離：

①垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段(確定已知面的垂面是關(guān)鍵)，再求解;

5等體積法;

理科還可用向量法：。

⑷球面距離：(步驟)

(Ⅰ)求線段AB的長(zhǎng);(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度數(shù);(Ⅲ)求劣弧AB的長(zhǎng)。

6.結(jié)論：

⑴從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

⑶正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底;

⑷長(zhǎng)方體的性質(zhì)

①長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為則：cos2+cos2+cos2=1;sin2+sin2+sin2=2。

②長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;sin2+sin2+sin2=1。

⑸正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長(zhǎng)為，則正四面體的：

1高：;②對(duì)棱間距離：;③相鄰兩面所成角余弦值：;④內(nèi)切2球半徑：;外接球半徑：;

第五部分直線與圓

1.直線方程

⑴點(diǎn)斜式：;⑵斜截式：;⑶截距式：;

⑷兩點(diǎn)式：;⑸一般式：，(A，B不全為0)。

(直線的方向向量：(，法向量(

2.求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：

(1)列約束條件;(2)作可行域，寫(xiě)目標(biāo)函數(shù);(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

3.兩條直線的位置關(guān)系：

4.直線系

5.幾個(gè)公式

⑴設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：();

⑵點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離：;

⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是;

6.圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：①;②。

⑵一般方程：(

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;

7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法;⑵幾何法;⑶圓系法。

8.圓系：

⑴;

注：當(dāng)時(shí)表示兩圓交線。

⑵。

9.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：(主要掌握幾何法)

⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(表示點(diǎn)到圓心的距離)

①點(diǎn)在圓上;②點(diǎn)在圓內(nèi);③點(diǎn)在圓外。

⑵直線與圓的位置關(guān)系：(表示圓心到直線的距離)

①相切;②相交;③相離。

⑶圓與圓的位置關(guān)系：(表示圓心距，表示兩圓半徑，且)

①相離;②外切;③相交;

④內(nèi)切;⑤內(nèi)含。

10.與圓有關(guān)的結(jié)論：

⑴過(guò)圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2;

過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;

⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

第六部分圓錐曲線

1.定義：⑴橢圓：;

⑵雙曲線：;⑶拋物線：略

2.結(jié)論

⑴焦半徑：①橢圓：(e為離心率);(左“+”右“-”);

②拋物線：

⑵弦長(zhǎng)公式：

;

注：(Ⅰ)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：①橢圓：;②拋物線：=x1+x2+p=;(Ⅱ)通徑(最短弦)：①橢圓、雙曲線：;②拋物線：2p。

⑶過(guò)兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：(同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線);

⑷橢圓中的結(jié)論：

①內(nèi)接矩形最大面積：2ab;

②P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP0Q，則;

③橢圓焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.點(diǎn)是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則;

④當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大;

⑸雙曲線中的結(jié)論：

①雙曲線(a>0,b>0)的漸近線：;

②共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，≠0);

③雙曲線焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.P是雙曲線- =1(a>0，b>0)的左(右)支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為;

④雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直;

(6)拋物線中的結(jié)論：

①拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：<Ⅰ>.x1x2=;y1y2=-p2;

<Ⅱ>.;<Ⅲ>.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)為直徑的圓與軸相切;<Ⅴ>. 。

②拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：

<Ⅰ>.;<Ⅱ>.恒過(guò)定點(diǎn);

<Ⅲ>.中點(diǎn)軌跡方程：;<Ⅳ>.，則軌跡方程為：;<Ⅴ>.。

③拋物線y2=2px(p>0)，對(duì)稱(chēng)軸上一定點(diǎn)，則：

<Ⅰ>.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為;<Ⅱ>.當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為 。

3.直線與圓錐曲線問(wèn)題解法：

⑴直接法(通法)：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。

注意以下問(wèn)題：

①聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程?

②直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎?

③判別式驗(yàn)證了嗎?

⑵設(shè)而不求(代點(diǎn)相減法)：--------處理弦中點(diǎn)問(wèn)題

步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得;③解決問(wèn)題。

4.求軌跡的常用方法：(1)定義法：利用圓錐曲線的定義; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法);⑷待定系數(shù)法;(5)參數(shù)法;(6)交軌法。

第七部分平面向量

⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則：①a‖b(b≠0)a=b(x1y2-x2y1=0;

②a⊥b(a、b≠0)a•b=0x1x2+y1y2=0.

⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2;

注：①|(zhì)a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;

6a•b的幾何意義：a•b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。

⑶cos=;

⑷三點(diǎn)共線的充要條件：P，A，B三點(diǎn)共線;

附：(理科)P，A，B，C四點(diǎn)共面。

第八部分?jǐn)?shù)列

1.定義：

⑴等差數(shù)列;

⑵等比數(shù)列

;

2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式

前n項(xiàng)和

性質(zhì)①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq②m+n=p+q時(shí)aman=apaq

③成AP③成GP

④成AP,④成GP,

等差數(shù)列特有性質(zhì)：

1項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);;;

2項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)：S2n-1=(2n-1);;;

3若;若;

若。

3.數(shù)列通項(xiàng)的求法：

⑴分析法;⑵定義法(利用AP,GP的定義);⑶公式法：累加法(;

⑷疊乘法(型);⑸構(gòu)造法(型);(6)迭代法;

⑺間接法(例如：);⑻作商法(型);⑼待定系數(shù)法;⑽(理科)數(shù)學(xué)歸納法。

注：當(dāng)遇到時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果是分段形式。

4.前項(xiàng)和的求法：

⑴拆、并、裂項(xiàng)法;⑵倒序相加法;⑶錯(cuò)位相減法。

5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：

⑴;⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

第九部分不等式

1.均值不等式：

注意：①一正二定三相等;②變形，。

2.絕對(duì)值不等式：

3.不等式的性質(zhì)：

⑴;⑵;⑶;

;⑷;;

;⑸;(6)

。

4.不等式等證明(主要)方法：

⑴比較法：作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。

第十部分復(fù)數(shù)

1.概念：

⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0;

⑵z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R);

⑶z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;

⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則：

(1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;⑵z1.z2=(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2=(z2≠0);

3.幾個(gè)重要的結(jié)論：

;⑶;⑷

⑸性質(zhì)：T=4;;

(6)以3為周期，且;=0;

(7)。

4.運(yùn)算律：(1)

5.共軛的性質(zhì)：⑴;⑵;⑶;⑷。

6.模的性質(zhì)：⑴;⑵;⑶;⑷;

第十一部分概率

1.事件的關(guān)系：

⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作;

⑵事件A與事件B相等：若，則事件A與B相等，記作A=B;

⑶并(和)事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作(或);

⑷并(積)事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作(或);

⑸事件A與事件B互斥：若為不可能事件()，則事件A與互斥;

(6)對(duì)立事件：為不可能事件，為必然事件，則A與B互為對(duì)立事件。

2.概率公式：

⑴互斥事件(有一個(gè)發(fā)生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B);

⑵古典概型：;

⑶幾何概型：;

第十二部分統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1.抽樣方法

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，通過(guò)逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱(chēng)這種抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

注：①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為;

②常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法;隨機(jī)數(shù)法。

⑵系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的

規(guī)則，從每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。

注：步驟：①編號(hào);②分段;③在第一段采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定其時(shí)個(gè)體編號(hào);

④按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。

⑶分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。

注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)

2.總體特征數(shù)的估計(jì)：

⑴樣本平均數(shù);

⑵樣本方差;

⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差=;

3.相關(guān)系數(shù)(判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性)：

注：⑴>0時(shí)，變量正相關(guān);<0時(shí)，變量負(fù)相關(guān);

⑵①越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);②接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。

4.回歸分析中回歸效果的判定：

⑴總偏差平方和：⑵殘差：;⑶殘差平方和：;⑷回歸平方和：-;⑸相關(guān)指數(shù)。

注：①得知越大，說(shuō)明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好;

②越接近于1，，則回歸效果越好。

5.獨(dú)立性檢驗(yàn)(分類(lèi)變量關(guān)系)：

隨機(jī)變量越大，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。

第十四部分常用邏輯用語(yǔ)與推理證明

1.四種命題：

⑴原命題：若p則q;⑵逆命題：若q則p;

⑶否命題：若p則q;⑷逆否命題：若q則p

注：原命題與逆否命題等價(jià);逆命題與否命題等價(jià)。

2.充要條件的判斷：

(1)定義法----正、反方向推理;

(2)利用集合間的包含關(guān)系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件;

3.邏輯連接詞：

⑴且(and)：命題形式pq;pqpqpqp

⑵或(or)：命題形式pq;真真真真假

⑶非(not)：命題形式p.真假假真假

假真假真真

假假假假真

4.全稱(chēng)量詞與存在量詞

⑴全稱(chēng)量詞-------“所有的”、“任意一個(gè)”等，用表示;

全稱(chēng)命題p：;

全稱(chēng)命題p的否定p：。

⑵存在量詞--------“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用表示;

特稱(chēng)命題p：;

特稱(chēng)命題p的否定p：;

第十五部分推理與證明

1.推理：

⑴合情推理：歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱(chēng)為合情推理。

①歸納推理：由某類(lèi)食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理，簡(jiǎn)稱(chēng)歸納。

注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。

②類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有類(lèi)似和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，稱(chēng)為類(lèi)比推理，簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比。

注：類(lèi)比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。

注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

⑴大前提---------已知的一般結(jié)論;

⑵小前提---------所研究的特殊情況;

⑶結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

二.證明

⒈直接證明

⑴綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч�法�?/p>

⑵分析法

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

2.間接證明------反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

附：數(shù)學(xué)歸納法(僅限理科)

一般的證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：

⑴證明當(dāng)取第一個(gè)值是命題成立;

⑵假設(shè)當(dāng)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命題對(duì)從開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立。

這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。

注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行;

3的取值視題目而4定，5可能是1，6也可能是2等。

第十六部分理科選修部分

1.排列、組合和二項(xiàng)式定理

⑴排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

⑵組合數(shù)公式：(m≤n),;

⑶組合數(shù)性質(zhì)：;

⑷二項(xiàng)式定理：

①通項(xiàng)：②注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別;

⑸二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

①與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等;②若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)(第+1項(xiàng))二項(xiàng)式系數(shù)最大;若n為奇數(shù)，中間兩項(xiàng)(第和+1項(xiàng))二項(xiàng)式系數(shù)最大;

③

(6)求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和或奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)，注意運(yùn)用賦值法。

2.概率與統(tǒng)計(jì)

⑴隨機(jī)變量的分布列：

①隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：pi≥0,i=1,2,…;p1+p2+…=1;

②離散型隨機(jī)變量：

Xx1X2…xn…

PP1P2…Pn…

期望：EX=x1p1+x2p2+…+xnpn+…;

方差：DX=;

注：;

③兩點(diǎn)分布：

X01期望：EX=p;方差：DX=p(1-p).

P1-pp

4超幾何分布：

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則其中，。

稱(chēng)分布列

X01…m

P…

為超幾何分布列，稱(chēng)X服從超幾何分布。

⑤二項(xiàng)分布(獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))：

若X～B(n,p),則EX=np,DX=np(1-p);注：。

⑵條件概率：稱(chēng)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。

注：①0P(B|A)1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。

⑷正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：式中是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)(期望值)與標(biāo)準(zhǔn)差;

(6)正態(tài)曲線的性質(zhì)：

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交;②曲線是單峰的，關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng);

③曲線在x=處達(dá)到峰值;④曲線與x軸之間的面積為1;

5當(dāng)一定時(shí)，6曲線隨質(zhì)的變化沿x軸平移;

7當(dāng)一定時(shí)，8曲線形狀由確定：越大，9曲線越“矮胖”，10表示總體分布越集中;

越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布越分散。

注：P=0.6826;P=0.9544

P=0.9974

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